Question

已知函數(shù)f(x)＝2ax－－(2＋a)lnx(a≥0)
（Ⅰ）當時，求的極值；
（Ⅱ）當a＞0時，討論的單調(diào)性；
(Ⅲ）若對任意的a∈(2,3)，x­₁,x₂∈[1,3]，恒有成立，求實數(shù)m的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）的極大值為，無極小值；（Ⅱ）①當時，在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；②當時，在上是增函數(shù)；③當時，在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù) ； (Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）當時，求的極值，首先確定函數(shù)的定義域為，對函數(shù)求導函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的極值；（Ⅱ）當a＞0時，討論的單調(diào)性，首先對函數(shù)求導函數(shù)，并分解得，再進行分類討論，利用，確定函數(shù)單調(diào)減區(qū)間；，確定函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（Ⅲ）若對任意的a∈(2, 3)，x­₁, x₂∈[1, 3]，恒有成立，只要求出的最大值即可，因此確定函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得的最大值與最小值，從而得，進而利用分離參數(shù)法，可得，從而可求實數(shù)的取值范圍
試題解析：（Ⅰ）當時，    2分
由,解得 ，可知在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)     4分
∴的極大值為，無極小值                    5分
（Ⅱ），
①當時，在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；   7分
②當時，在上是增函數(shù)；                      8分
③當時，在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)  9分
(Ⅲ）當時，由（2）可知在上是增函數(shù)，
∴               10分
由對任意的a∈(2, 3)，x­₁, x₂∈[1, 3]恒成立，
∴                        11分
即對任意恒成立，
即對任意恒成立，                         12分
由于當時，，∴            14分