Question

已知幾何體A-BCED的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．
（1）求此幾何體的體積V的大小；
（2）求異面直線DE與AB所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由該幾何體的三視圖知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，利用體積公式，可求該幾何體的體積；
（2）解法1：過點B作BF∥ED交EC于F，連接AF，則∠FBA或其補角即為異面直線DE與AB所成的角，在△BAF中，利用余弦定理可求異面直線DE與AB所成的角的余弦值；
解法2：以C為原點，以CA，CB，CE所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，確定向量的坐標，利用向量的夾角公式，可求異面直線DE與AB所成的角的余弦值．
解答：解：（1）由該幾何體的三視圖知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，
∴
∴即該幾何體的體積．（5分）
（2）解法1：過點B作BF∥ED交EC于F，連接AF，
則∠FBA或其補角即為異面直線DE與AB所成的角．（7分）
在△BAF中，∵AB=，BF=AF═．
∴．
即異面直線DE與AB所成的角的余弦值為．（12分）    
解法2：
以C為原點，以CA，CB，CE所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系．  （6分）
則A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）
∴，（8分）
∴
∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為．（12分）
點評：本題考查幾何體體積的計算，考查線線角，考查利用向量法解決空間角，屬于中檔題．