Question

等比數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂₀₁₂=9，函數(shù)f（x）=x（x-a₁）（x-a₂）…（x-a₂₀₁₂）+2，則曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為

y=3²⁰¹²x+2

．

Answer 1

分析：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到a₁a₂₀₁₂=a₂a₂₀₁₁=…=a₁₀₀₆a₁₀₀₇，把已知的a₁=1，a₂₀₁₂=9代入，求出a₁a₂₀₁₂，a₂a₂₀₁₁，…，a₁₀₀₆a₁₀₀₇的值，然后由函數(shù)解析式，利用求導法則求出f′（x），并把x=0代入導函數(shù)中，表示出f′（0），利用乘法運算律整理后，將求出的a₁a₂₀₁₂，a₂a₂₀₁₁，…，a₁₀₀₆a₁₀₀₇的值代入，利用同底數(shù)冪的運算法則化簡后，得出f′（0）的值，即為函數(shù)在（0，f（0））處的斜率，進而確定出函數(shù)f（x） 在點（0，f（0））處的切線方程．

解答：解：∵等比數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂₀₁₂=9，
∴a₁a₂₀₁₂=a₂a₂₀₁₁=…=a₁₀₀₆a₁₀₀₇=9=3²，
且f（x）=x（x-a₁）（x-a₂）…（x-a₂₀₁₂）+2，
∴f′（0）=（-a₁）•（-a₂）•…•（-a₂₀₁₂）=a₁•a₂•…•a₂₀₁₂，
=（a₁a₂₀₁₂）•（a₂a₂₀₁₁）•…•（a₁₀₀₆a₁₀₀₇）
=3²•3²•…•3²（1006個3²相乘）=3^1006×2=3²⁰¹²，
∴函數(shù)f（x） 在點（0，f（0））處的切線方程y-f（0）=3²⁰¹²（x-0），即y=3²⁰¹²x+2．
故答案為：y=3²⁰¹²x+2．

點評：此題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，求導法則，利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程，以及直線的點斜式方程，其中利用等比數(shù)列的性質(zhì)及求導法則求出f′（0）的值即切線方程的斜率是解本題的關鍵．