Question

已知函數(shù)f（x）=

( 1 2 )x， x＜-1 x2+3x， x≥-1

．
（Ⅰ）解不等式f（x）＜4；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-1，2]時，f（x）≥mx-2（m∈R）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,分段函數(shù)的應(yīng)用,其他不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ） 分類構(gòu)造不等式，解得即可，
（Ⅱ）先分類，（�。┊�(dāng)x=0時，mx≤x²+3x+2恒成立，所以m∈R，（ⅱ） 當(dāng)x∈[-1，0）時，原不等式變形為，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)g（x），利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可，（ⅲ） 當(dāng)x∈（0，2]時，原不等式變形為m≤x+

2

x

+3，利用基本不等式，求出m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)x＜-1時，
由(

1

2

)x=2-x＜4=22得x＞-2，
所以-2＜x＜-1，
當(dāng)x≥-1時，
由x²+3x＜4得-4＜x＜1，
所以-1≤x＜1，
綜上，原不等式的解集是{x|-2＜x＜1}；
（Ⅱ） 由題意得x²+3x≥mx-2即mx≤x²+3x+2在[-1，2]上恒成立，
（�。┊�(dāng)x=0時，mx≤x²+3x+2恒成立，所以m∈R，
（ⅱ） 當(dāng)x∈[-1，0）時，原不等式變形為m≥x+

2

x

+3，
設(shè)g(x)=x+

2

x

+3，x∈[-1，0)，
因為當(dāng)x∈[-1，0）時，g′(x)=1-

2

x2

=

(x+ 2 )(x- 2 )

x2

＜0，
所以g（x）在[-1，0）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x=-1時，g（x）_max=g（-1）=0，
所以m≥0，
（ⅲ） 當(dāng)x∈（0，2]時，原不等式變形為m≤x+

2

x

+3，
又x+

2

x

+3≥2

2

+3，
當(dāng)x=

2

時，(x+

2

x

+3)min=2

2

+3，
所以m≤2

2

+3，
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是[0，2

2

+3]，

點評：本題考查了參數(shù)的取值范圍，采取的方法是分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)或基本不等式求出函數(shù)的最值，培養(yǎng)了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，解決問題的能力，屬于難題