Question

選修4-5《不等式選講》．
已知a+b=1，對(duì)?a，b∈（0，+∞），使+≥|2x-1|-|x+1|恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

解：∵a+b=1，且 a＞0，b＞0，∴+=（a+b）（ + ）=5++≥5+2=9，
故 + 的最小值等于9． 要使+≥|2x-1|-|x+1|恒成立，所以，|2x-1|-|x+1|≤9．
當(dāng) x≤-1時(shí)，2-x≤9，∴-7≤x≤-1． 當(dāng)-1＜x＜ 時(shí)，-3x≤9，∴-1＜x＜．
當(dāng)x≥ 時(shí)，x-2≤9，∴≤ x≤11．
綜上，-7≤x≤11．
分析：利用基本不等式求得 +的最小值等于9，由題意可得|2x-1|-|x+1|≤9，分x≤-1時(shí)，-1＜x＜ 時(shí)，x≥ 時(shí)，
三種情況分別求出不等式的解集，再取并集，即得結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式的應(yīng)用，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．
關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值，化為與之等價(jià)的不等式組來(lái)解．