如圖所示，ABCD-A1B1C1D1是長方體，已知AB=3，AD=4，AA1=2，M是棱A1D1的中點，求直線AM與平面BB1D1D所成角的正弦值．
分析：先建立空間坐標系，分別求出向量
AM
與平面BB1D1D的法向量的坐標，再利用公式直線AM與平面BB1D1D所成的角是θ，則sinθ=|cos＜
AM
，
n
＞|即可求出．
解答：解：以D為坐標原點，DA，DC，DD1為坐標軸，建立O-xyz坐標系，
則
AM
=(-2，0，2)，
DD1
=(0，0，2)，
DB
=(4，3，0)，
設(shè)平面BDD1B1的一個法向量為
n
=（x，y，z）
由
n
•
DD1
=2z=0
n
•
DB
=4x+3y=0
，可得z=0，令x=3，則y=-4，
可得平面BB1D1D的一個法向量
n
=（3，-4，0），∴
AM
•
n
=-6．
設(shè)直線AM與平面BB1D1D所成的角是θ，則sinθ=|cos＜
AM
，
n
＞|=
|
AM
•
n
|
|
AM
||
n|
=
6
8
×
25
=
3
2
10
．
故直線AM與平面BB1D1D所成角的正弦值是
3
2
10
．
點評：正確利用公式直線AM與平面BB1D1D所成的角θ，則sinθ=|cos＜
AM
，
n
＞|=
|
AM
•
n
|
|
AM
||
n|
是解題的關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

2008年8月，在北京召開的國際數(shù)學大會會標如圖所示，ABCD是大正方形，四周四個直角三角形圍成一個小正方形，若小正方形的面積是大正方形面積的
125
，求直角三角形中較大的銳角．

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25
25
種．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

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（1）求證：AC⊥DF；
（2）若PA=2，AB=1，求三棱錐C-PED的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，?ABCD中，AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，已知AB=10，BM=5，MC=3，則MN的長為
 
．

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