Question

19．已知$sinθ-cosθ=-\frac{1}{5}$
（1）求sinθcosθ的值．
（2）求sin³θ-cos³θ的值．
（3）當(dāng)-π＜θ＜0時，求tanθ的值．

Answer 1

分析 （1）將已知等式兩邊平方，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得解．
（2）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及立方差公式即可得解．
（3）把已知等式兩邊平方，利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡，求出sinθ+cosθ的值，與已知等式聯(lián)立求出sinθ與cosθ的值，即可確定出tanθ的值．

解答 解：（1）∵$sinθ-cosθ=-\frac{1}{5}$，
∴兩邊平方可得：1-2sinθcosθ=$\frac{1}{25}$，解得：sinθcosθ=$\frac{12}{25}$．
（2）sin³θ-cos³θ=（sinθ-cosθ）（sin²θ+sinθcosθ+cos²θ）=（-$\frac{1}{5}$）×（1+$\frac{12}{25}$）=-$\frac{37}{125}$．
（3）∵sinθcosθ=$\frac{12}{25}$，$sinθ-cosθ=-\frac{1}{5}$①．
∴由-π＜θ＜0，可得：-π＜θ＜$-\frac{π}{2}$，
∵（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ=$\frac{49}{25}$，
∴sinθ+cosθ=-$\frac{7}{5}$②，
聯(lián)立①②，解得：sinθ=-$\frac{4}{5}$，cosθ=-$\frac{3}{5}$，
則tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{4}{3}$．

點評 此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．