Question

18．已知曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=-3-\frac{3}{4}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）與曲線C₂：ρ²-4ρ•cosθ-21=0交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長，并說明C₁，C₂分別是什么曲線？

Answer 1

分析 曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=-3-\frac{3}{4}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），把t=x-1代入y=-3-$\frac{3}{4}$t，可得普通方程．曲線C₂：ρ²-4ρ•cosθ-21=0，利用互化公式可得：直角坐標(biāo)方程．求出圓心曲線C₂到直線的距離d，可得|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-q8r1sbh^{2}}$．

解答 解：曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=-3-\frac{3}{4}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），把t=x-1代入y=-3-$\frac{3}{4}$t，可得y=-3-$\frac{3}{4}$（x-1），化為：3x+4y+9=0，因此曲線C₁表示直線．
曲線C₂：ρ²-4ρ•cosθ-21=0，利用互化公式可得：x²+y²-4x-21=0，配方為（x-2）²+y²=25，曲線C₂表示圓心為C₂（2，0），半徑為r=5．
圓心曲線C₂到直線的距離d=$\frac{|2×3+0+9|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=3，
∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-znocjjx^{2}}$=2×$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=8．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓相交弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．