Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1）．
（1）若對于定義域內(nèi)的任意x，都有f（x）≥f（1）成立，求實數(shù)b的值；
（2）若函數(shù)f（x）在定義域是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）求證：．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意f（x）≥f（1）成立，得f（x）在定義域（-1，+∞）上的最小值是f（1），
∴函數(shù)在x=1處取得最小值，說明x=1是函數(shù)的極小值點，
因為f′（x）=2x+，所以f′（1）=0，得，可得b=-4
經(jīng)檢驗b=-4符合題意；
（2）函數(shù)f（x）在定義域是單調(diào)函數(shù)，說明
f′（x）=2x+，在（-1，+∞）上的符號只有一種，即f′（x）≥0恒成立或f′（x）≤0恒成立，
①根據(jù)函數(shù)的特征可得在（-1，+∞）上f′（x）總有正值，f′（x）≤0不可能恒成立，
②f′（x）≥0恒成立，即，變形為b≥-2x²-2x，
而
故b
綜合①②知，實數(shù)b取值范圍是
（2）∵
∴．
又∵．故不等式成立．
分析：（1）根據(jù)題意f（x）≥f（1）成立，得f（x）在定義域上的最小值是f（1），函數(shù)在x=1處取得最小值，說明x=1是函數(shù)的極小值點，f′（1）=0，解之可得b=-4；
（2）根據(jù)題意，f′（x）=2x+，在（-1，+∞）上的符號只有一種，即f′（x）≥0恒成立或f′（x）≤0恒成立，再根據(jù)函數(shù)f′（x）的特征可得在（-1，+∞）上f′（x）總有正值，f′（x）≤0不可能恒成立，解f′（x）≥0恒成立，可得b取值范圍是；
（3）先構(gòu)造不等式，進行恰當放縮：，利用這個式子進行累加，得，結(jié)合可得不等式成立．
點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)與數(shù)列、不等式相綜合的問題，屬于難題．利用分類討論思想和不等式放縮的技巧，是解決本題的關(guān)鍵，也是思考的難點．