Question

11．如圖所示的空間幾何體ABCDEFG中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE⊥平面ABCD，EF∥AB，EG∥AD，EF=EG=1，AE=3
（Ⅰ）求證：平面CFG⊥平面ACE
（Ⅱ）求平面CEG與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）欲證明平面CGF⊥平面ACE，可通過證明GF⊥平面ACE，需證明AC⊥GF，AE⊥GF，結(jié)合GE∥AB，EF∥AD進(jìn)行證明；
（Ⅱ）方法一：構(gòu)造平面ECG與平面ABCD所成二面角的平面角∠EBA，則BE=$\sqrt{13}$，cos∠EBA=$\frac{AB}{EB}$=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，即可求得答案；
方法二：建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面CEG與平面ABCD的法向量，利用cosα=$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}}{丨\overrightarrow{AE}丨•丨\overrightarrow{n}丨}$，即可求得平面CEG與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵GE∥AB，EF∥AD，GE=EF=1，AB=AD=2，
∴AM=AN=1，∴GF∥MN且GF=MN．
∵M(jìn)N∥BD，∴GF∥BD．
∵AE⊥平面ABCD，∴AE⊥BD，AE⊥GF．
又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴AC⊥GF．
∵AC∩AE=A，∴GF⊥平面ACE，
∴平面CGF⊥平面ACE．
解：（Ⅱ）解法一：由EG∥AD，則EG∥BC，
∴平面CEG與平面ABCD所成的銳二面角即為EBCG與平面ABCD所成的銳二面角，
連接BE，由AE⊥ABCD，AB⊥BC，則BE⊥BC，
則∠EBA為平面ECG與平面ABCD所成二面角的平面角，
由AE=3，AB=2，則BE=$\sqrt{13}$，
cos∠EBA=$\frac{AB}{EB}$=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，
平面CEG與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．
方法二：建立如圖坐標(biāo)系A(chǔ)-xyx，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0）E（0，0，3），
G（0，1，3），
則$\overrightarrow{AE}$=（0，0，3），為平面ABCD的一個(gè)法向量，
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面CEG的一個(gè)法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}\overrightarrow{CE}=0}\\{\overrightarrow{n}\overrightarrow{CG}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2x-y+3z=0}\\{-2x-2y+3z=0}\end{array}\right.$，令y=0，則z=2，
∴$\overrightarrow{n}$=（3，0，2），
設(shè)平面CEG與平面ABCD所成的銳二面角α，
則cosα=$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}}{丨\overrightarrow{AE}丨•丨\overrightarrow{n}丨}$=$\frac{6}{3\sqrt{13}}$=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，
平面CEG與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的證明，考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量法的合理運(yùn)用．