Question

設(shè)點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)（不包括邊界），且

AP

=m

AB

+n

AC

(m，n∈R)，則（m-1）²+（n-1）²的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意可得m、n滿足的不等式組，在mon坐標(biāo)系內(nèi)作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖所示．設(shè)P（m，n）是區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)，Q（1，1），可得（m-1）²+（n-1）²表示P、Q連線段長(zhǎng)的平方值．運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P并利用點(diǎn)到直線的距離公式和兩點(diǎn)間的距離公式加以計(jì)算，可得（m-1）²+（n-1）²的取值范圍．

解答：解：∵點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)（不包括邊界），

AP

=m

AB

+n

AC

(m，n∈R)
∴實(shí)數(shù)m、n滿足不等式組

m＞0 n＞0 m+n＜1

，
在mon坐標(biāo)系內(nèi)作出不等式組表示的平面區(qū)域，
得到如圖所示的△MN0內(nèi)部（不含邊界），其中M（1，0），N（0，1），O是坐標(biāo)原點(diǎn)．設(shè)P（m，n）是區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)，Q（1，1）
∵|PQ|=

(m-1)2+(n-1)2

，
∴z=（m-1）²+（n-1）²表示P、Q連線段長(zhǎng)的平方值．
運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P，可得當(dāng)P與Q在MN上的射影重合時(shí)，|PQ|達(dá)到最小值，
當(dāng)P與原點(diǎn)O重合時(shí)，|PQ|達(dá)到最大值．
∵點(diǎn)P到MN的距離為d₁=

|1+1-1|

2

=

2

2

，|PO|=

(0-1)2+(0-1)2

=

2

，
∴z=（m-1）²+（n-1）²∈（(

2

2

)2，(

2

)2），
即（m-1）²+（n-1）²的取值范圍是(

1

2

，2)．
故答案為：(

1

2

，2)

點(diǎn)評(píng)：本題以平面向量為載體，求（m-1）²+（n-1）²的取值范圍．著重考查了向量的線性運(yùn)算、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)，屬于中檔題．