Question

已知關(guān)于x的方程x²＋2alog₂(x²＋2)＋a²－3＝0有唯一解，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．

Answer 1

1

設(shè)f(x)＝x²＋2alog₂(x²＋2)＋a²－3，由f(－x)＝f(x)，知f(x)是偶函數(shù)．若方程f(x)＝0有唯一解，則f(0)＝0，代入得a＝1或a＝－3.令t＝x²，則f(x)＝g(t)＝t＋2alog₂(t＋2)＋a²－3.當(dāng)a＝1時(shí)，g(t)＝t＋2log₂(t＋2)－2，由于g(t)≥g(0)＝0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)，符合條件；當(dāng)a＝－3時(shí)，g(t)＝t－6log₂(t＋2)＋6，由g(30)＝30－6×5＋6>0，g(14)＝14－6×4＋6<0，知f(x)至少有三個(gè)根，不符合．所以，符合條件的實(shí)數(shù)a的值為1.