Question

已知點A（-2，0），B（2，0），直線AG，BG相交于點G，且它們的斜率之積是-

1

4

．
（Ⅰ）求點G的軌跡Ω的方程；
（Ⅱ）圓x²+y²=4上有一個動點P，且P在x軸的上方，點C（1，0），直線PA交（Ⅰ）中的軌跡Ω于D，連接PB，CD．設直線PB，CD的斜率存在且分別為k₁，k₂，若k₁=λk₂，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用直線AG，BG相交于點G，且它們的斜率之積是-

1

4

，建立方程，化簡可求點G的軌跡Ω的方程；
（Ⅱ）求出直線PB，CD的斜率，利用k₁=λk₂，表示出λ，即可求實數(shù)λ的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設G（x，y），由kAG•kBG=-

1

4

得，

y

x+2

•

y

x-2

=-

1

4

（x≠±2），（3分）
化簡得動點G的軌跡Ω的方程為

x2

4

+y2=1（x≠±2）．（6分）
（未注明條件“x≠±2”扣1分）
（Ⅱ）設D（x₀，y₀），則
∵動點P在圓x²+y²=4上，
∴k_PB•k_PA=-1，
即k₁•k_AD=-1，
∴k1=-

1

kAD

=-

x0+2

y0

，
又k2=

y0

x0-1

（x₀≠1），（8分）
由k₁=λk₂，得-

x0+2

y0

=λ•

y0

x0-1

，
∴λ=-

(x0+2)(x0-1)

y 2 0

=-

(x0+2)(x0-1)

1 4 (4- x 2 0 )

=4•

x0-1

x0-2

=4(1+

1

x0-2

)，（10分）
由于-2＜x₀＜2且x₀≠1，（11分）
解得λ∈（-∞，0）∪（0，3）．（13分）

點評：本題考查軌跡方程，考查斜率公式的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．