Question

如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AB=1，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動．
（Ⅰ）點E為BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并說明理由；
（Ⅱ）證明：無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質(zhì),空間中直線與平面之間的位置關(guān)系,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（I）當(dāng)點E為BC的中點時，EF與平面PAC平行，．由已知條件推導(dǎo)出EF∥PC，由此能證明EF∥平面PAC．
（II）由線面垂直得EB⊥PA，又EB⊥AB，從而EB⊥平面PAB，進而AF⊥BE，由等腰三角形性質(zhì)得AF⊥PB，從而AF⊥平面PBE，由此能證明無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF．

解答： （I）解：當(dāng)點E為BC的中點時，EF與平面PAC平行．…（2分）
∵△PBC中，E、F分別為BC、PB的中點．
∴EF∥PC，又EF不包含于平面PAC，…（3分）
而PC?平面PAC，∴EF∥平面PAC…（5分）
（II）證明：∵PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，
∴EB⊥PA，…（6分）
又EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP?平面PAB，
∴EB⊥平面PAB，又AF?平面PAB，
∴AF⊥BE，…（8分）
又PA=PB=1，點F是PB的中點，
∴AF⊥PB，…（9分）
又∵PB∩BE=B，PB，BE?PBE，
∴AF⊥平面PBE．…（11分）
∵PE?平面PBE，∴AF⊥PE．
∴無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF．…（12分）

點評：本題考查直線與平面的位置關(guān)系的判斷與證明，考查無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．