已知二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為a,且不等式f(x)>-4x的解集為(1,3).
(1)若方程f(x)+6a=0有兩個相等的實根,求f(x)的解析式;
(2)若f(x)的最大值為正數(shù),求a的取值范圍.
考點(diǎn):二次函數(shù)的性質(zhì)
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c,(a<0),由題意得方程f(x)=-4x兩個根是1,3,由韋達(dá)定理求得b=-4a-4,c=3a,可得f(x)=ax2-4(a+1)x+3a.再根據(jù)△=16(a+1)2-36a2=0,解得a的值,可得f(x)的解析式.
(2)由題意可得
12a2-16(a+1)2
4a
>0,再由a<0可得 a2+8a+4>0,由此求得a的范圍.
解答: 解:(1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c,(a<0),由題意得方程f(x)=-4x兩個根是1,3,
即ax2+(b+4)x+c=0兩個根是1,3,故由韋達(dá)定理可得-
b+4
a
=4,
c
a
=3,∴b=-4a-4,c=3a,f(x)=ax2-4(a+1)x+3a.
再根據(jù)方程f(x)+6a=0,即ax2-4(a+1)x+9a=0有兩個相等的實根,∴△=16(a+1)2-36a2=0,解得a=-
2
5
,
∴f(x)=-
2
5
x2-
12
5
x-
6
5

(2)由于f(x)=ax2-4(a+1)x+3a 的最大值為正數(shù),可得
12a2-16(a+1)2
4a
>0,即
a2+8a+4
a
<0,
再由a<0可得 a2+8a+4>0,求得 a<-4-2
3
,或-4+2
3
<a<0,
即a的范圍是:{a|a<-4-2
3
,或-4+2
3
<a<0 }.
點(diǎn)評:本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì),用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,分式不等式的解法,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于基礎(chǔ)題.
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1+x
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2
1+2x
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1
2
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1
2
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1
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x2
a2
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