Question

二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[-1，1]上的值域；
（Ⅲ）在區(qū)間[-1，1]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+m的圖象上方，試確定實數(shù)m的范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）為二次函數(shù)設(shè)出其解析式，然后利用題目條件確定系數(shù)，從而求得函數(shù)f（x）的解析式．
（Ⅱ）通過配方，求得函數(shù)的對稱軸，確定函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，可得函數(shù)在區(qū)間上的值域．
（Ⅲ）將“y=f（x）的圖象恒在y=2x+m的圖象上方”轉(zhuǎn)化為“x²-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立”，移項后轉(zhuǎn)化為“x²-3x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立”，只需該二次函數(shù)在[-1，1]上的最小值大于0即可，從而求得m的值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax²+bx+1．
∵f（x+1）-f（x）=2x，∴a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x．
即2ax+a+b=2x，所以

2a=2 a+b=0

，∴

a=1 b=-1

，∴f（x）=x²-x+1．
（Ⅱ）f(x)=x2-x+1=(x-

1

2

)2+

3

4

所以當(dāng)x∈[-1，1]時，y_min=f（

1

2

）=

3

4

，y_max=f（-1）=3
∴函數(shù)的值域為[

3

4

，3]
（Ⅲ）由題意得x²-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立．即x²-3x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立．
設(shè)g（x）=x²-3x+1-m，其圖象的對稱軸為直線x=

3

2

，所以g（x）在[-1，1]上遞減．
故只需g（1）＞0，即1²-3×1+1-m＞0，解得m＜-1．

點評：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，同時考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域和不等式恒成立問題，注意條件的轉(zhuǎn)化，是個中檔題．