Question

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線l經(jīng)過點(diǎn)P(2,0),且與拋物線y²=4x交于A、B兩個不同點(diǎn).

(1)求證:直線OA與直線OB不垂直;

(2)點(diǎn)E(8,0)能否在以線段AB為直徑的圓上?如果能,請求出此時直線l的方程；如果不能,請說明理由.

Answer 1

(1)證明:設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),則y₁²=4x₁,y₂²=4x₂,=(x₁-2,y₁),=(x₂-2,y₂),

∵P、A、B共線,∴∥.

∴(x₁-2)y₂-y₁(x₂-2)=0.

由y₁²=4x₁,y₂²=4x₂得x₁=,x₂=,代入(x₁-2)y₂-y₁(x₂-2)=0,

化簡得y₁y₂=-8.

∵=(x₁,y₁),=(x₂,y₂),

∴x₁x₂+y₁y₂=+y₁y₂=-4≠0.

∴與不垂直.

∴直線OA與直線OB不垂直.

(2)解:∵=(x₁-8,y₁),=(x₂-8,y₂),

如果點(diǎn)E(8,0)在以線段AB為直徑的圓上,那么⊥.

∴(x₁-8)(x₂-8)+y₁y₂=0.

將x₁=,x₂=,y₁y₂=-8代入(x₁-8)(x₂-8)+y₁y₂=0,∴y₁²+y₂²=30.

∴y₁+y₂=±=±.

∴直線AB的斜率存在,設(shè)其為k,則k==±.

∴直線AB的方程為y=±(x-2).

∴點(diǎn)E(8,0)能在以線段AB為直徑的圓上.此時直線l的方程為y=±(x-2).