(2012•濟(jì)南二模)如圖,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=
12
AP=2,D是AP的中點(diǎn),E,F(xiàn),G分別為PC、PD、CB的中點(diǎn),將△PCD沿CD折起,使得PD⊥平面ABCD.

(1)求證:平面PCD⊥平面PAD;
(2)求二面角G-EF-D的大;
(3)求三棱椎D-PAB的體積.
分析:(1)由PD⊥平面ABCD,可得PD⊥CD,根據(jù)CD⊥AD,可得CD⊥平面PAD,利用面面垂直的判定,可得平面PCD⊥平面PAD;
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面EFG的法向量
n
=(1,0,1),平面PCD的一個(gè)法向量
DA
=(1,0,0),利用向量的夾角公式,可得二面角G-EF-D的平面角;
(3)利用等體積轉(zhuǎn)化,可求三棱椎D-PAB的體積.
解答:(1)證明:∵PD⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,
∴PD⊥CD…(1分)
∵CD⊥AD,PD∩AD=D
∴CD⊥平面PAD…(2分)
∵CD?平面PCD
∴平面PCD⊥平面PAD…(3分)
(2)解:如圖以D為原點(diǎn),以
DA
,
DC
DP
為方向向量建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則G(1,2,0),E(0,1,1),F(xiàn)(0,0,1)
EF
=(0,-1,0),
EG
=(1,1,-1)…(5分)
設(shè)平面EFG的法向量為
n
=(x,y,z)
n
EF
=0
n
EG
=0
,∴
-y=0
x+y-z=0
,∴
x=z
y=0

n
=(1,0,1)…(6分)
平面PCD的一個(gè)法向量,
DA
=(2,0,0)…(7分)
∴cos
DA
n
>=
DA
n
|
DA
|•|
n
|
=
2
2
2
=
2
2
…(8分)
結(jié)合圖知二面角G-EF-D的平面角為45°…(9分)
(3)解:VD-PAB=VP-DAB=
1
3
S△ABD
•PD=
1
3
×
1
2
×2×2×2=
4
3
…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查面面垂直,考查面面角,考查三棱錐體積的計(jì)算,解題的關(guān)鍵是掌握面面垂直的判定定理,正確運(yùn)用空間向量解決面面角問(wèn)題,屬于中檔題.
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