Question

12．已知${（{\frac{5}{x}-\sqrt{x}}）^n}$展開式中，只有第3項的二項式系數最大，且展開式中含x²項的系數為a，則$\int_1^{2a}{\frac{{{x^2}+1}}{x}}dx$=$\frac{3}{2}$+ln3．

Answer 1

分析 由題意結合二項式系數的性質，可知二項展開式中僅有5項，則n可求，再根據二項式展開式的通項公式展開式中含x²項的系數為a，再根據定積分計算即可

解答 解：由于${（{\frac{5}{x}-\sqrt{x}}）^n}$展開式中第3項的二項式系數最大，可得n=4，
則通項為C₄^r5^4-r（-1）^r•x${\;}^{\frac{3r}{2}-4}$，
令$\frac{3r}{2}$-4=2，
解得r=4，
∴展開式中含x²項的系數為a=C₄⁴5^4-4（-1）⁴=1，
∴$\int_1^{2a}{\frac{{{x^2}+1}}{x}}dx$=${∫}_{1}^{2}$（x+$\frac{1}{x}$）dx=（$\frac{1}{2}$x+lnx）${\;}_{1}^{2}$=$\frac{3}{2}$+ln2，
故答案為：$\frac{3}{2}$+ln3．

點評 本題主要考查二項式定理的應用和定積分的計算，二項式系數的性質，二項式展開式的通項公式，屬于中檔題．