Question

（2013•閘北區(qū)一模）假設(shè)你已經(jīng)學(xué)習(xí)過指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)和反函數(shù)的概念，但還沒有學(xué)習(xí)過對數(shù)的相關(guān)概念．由指數(shù)函數(shù)f（x）=a^x（a＞0且a≠1）在實數(shù)集R上是單調(diào)函數(shù)，可知指數(shù)函數(shù)f（x）=a^x（a＞0且a≠1）存在反函數(shù)y=f^-1（x），x∈（0，+∞）．請你依據(jù)上述假設(shè)和已知，在不涉及對數(shù)的定義和表達(dá)形式的前提下，證明下列命題：
（1）對于任意的正實數(shù)x₁，x₂，都有f^-1（x₁x₂）=f-1(x1)+f-1(x2)；
（2）函數(shù)y=f^-1（x）是單調(diào)函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和反函數(shù)的定義即可證明；
（2）對底數(shù)a分a＞1與0＜a＜1討論，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可證明．

解答：證明：（1）設(shè)y1=f-1(x1)，y2=f-1(x2)，
由題意，有x1=ay1，x2=ay2，
∴x1x2=ay1•ay2=ay1+y2，
∴y1+y2=f-1(x1x2)，即f^-1（x₁x₂）=f^-1（x₁）+f^-1（x₂）．         
（2）當(dāng)a＞1時，y=f^-1（x）是增函數(shù)．
證明：設(shè)x₁＞x₂＞0，即ay1＞a y2＞0，
又由指數(shù)函數(shù)y=a^x（a＞1）是增函數(shù)，得y₁＞y₂，即f-1(x1)＞f-1(x2)．                                       
∴當(dāng)a＞1時，y=f^-1（x）是增函數(shù)．                              
同理，當(dāng)0＜a＜1時，y=log_ax是減函數(shù)．

點評：熟練掌握指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和反函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．