Question

已知遞增的等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：S₄=S₁+28，且a₃+2是a₂和a₄的等差中項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n=a_nlog 

1

2

a_n，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求使T_n+n•2ⁿ⁺¹=30成立的正整數(shù)n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）由題意，得

a1(q+q2+q3)=28 a1(q+q3)=2(a1q2+2)

，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）b_n=a_nlog 

1

2

a_n，T_n=b₁+b₂+…+b_n=-（1×2+2×2²+…+n×2ⁿ），進(jìn)而可得T_n+n•2ⁿ⁺¹=30成立的正整數(shù)n的值．

解答： 解：（I）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵S₄=S₁+28，且a₁+2是a₂和a₄的等差中項(xiàng)．
∴

a1(q+q2+q3)=28 a1(q+q3)=2(a1q2+2)

，
解得

a1=2 q=2

，
即數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2•2^n-1=2ⁿ…（6分）
（Ⅱ）b_n=a_nlog 

1

2

a_n，…（8分）
T_n=b₁+b₂+…+b_n=-（1×2+2×2²+…+n×2ⁿ）①
則2T_n=-（1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹）②
②-①，得T_n=（2+2²+…+2ⁿ）-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹
即數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)和T_n=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
則T_n+n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2=30，
即2ⁿ⁺¹=32，
解得：n=4

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．