Question

如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知,,現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如圖乙），設(shè)點E、F分別為棱AC、AD的中點．

（1）求證：DC平面ABC；

（2）求BF與平面ABC所成角的正弦值；

（3）求二面角B－EF－A的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）對于線面垂直的證明主要是根據(jù)線線垂直來得到線面垂直。

（2）（3）

【解析】

（1）  試題分析：證明：在圖甲中∵且 

（2）  ∴ ,

即   2分

在圖乙中，∵平面ABD平面BDC ， 且平面ABD平面BDC＝BD

∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥C                  D．   4分

又，∴DC⊥BC,且

∴DC平面ABC．    5分

（2）解法1：∵E、F分別為AC、AD的中點

∴EF//CD，又由（1）知，DC平面ABC，

∴EF⊥平面ABC，垂足為點E

∴∠FBE是BF與平面ABC所成的角   7分

在圖甲中，∵, ∴,

設(shè)則,,-9分

∴在Rt△FEB中，

即BF與平面ABC所成角的正弦值為．  10分

解法2：如圖，以B為坐標(biāo)原點，BD所在的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系如下圖示，

設(shè)，則，  6分

可得,,

，，

∴,   8分

設(shè)BF與平面ABC所成的角為

由（1）知DC平面ABC

∴

∴   10分

（3）由（2）知 FE⊥平面ABC，

又∵BE平面ABC，AE平面ABC，∴FE⊥BE，F(xiàn)E⊥AE，

∴∠AEB為二面角B－EF－A的平面角   12分

在△AEB中，

∴

即所求二面角B－EF－A的余弦為．  14分

考點：垂直的證明，角的求解

點評：主要是考查了空間中垂直的證明，以及線面角和二面角的平面角的大小的求解，屬于基礎(chǔ)題。