Question

已知函數(shù)y=x²（x＞0）的圖象在點(diǎn)（a_k，a_k²）處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a_k+1（k∈N^*），a₁=1；數(shù)列{b_n}滿足：b₁=2，且對(duì)任意p，q∈N^*，都有b_p+b_q=b_p+q．
（I）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知條件得到切線方程，再求出a_k+1與a_k的關(guān)系，并判斷其數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，即得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．令p=1，q=n則b₁+b_n=b_n+1，求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（II）由（1）知a_n•b_n，再用錯(cuò)位相減法來(lái)求前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（I）∵y'=2x，∴y-a_k²=2a_k（x-a_k）
令y=0?x=

1

2

ak即ak+1=

1

2

ak，∴數(shù)列{a_n}是以首項(xiàng)為1，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
∴an=(

1

2

)n-1（3分）
令p=1，q=n則b₁+b_n=b_n+1?b_n+1-b_n=2，即b_n=2+2（n-1）=2n（6分）
（II）anbn=2n•(

1

2

)n-1=4•n(

1

2

)n
Tn=4[1•(

1

2

)+2•(

1

2

)2++n•(

1

2

)n]①

1

2

Tn=4[1•(

1

2

)2+2•(

1

2

)3++n•(

1

2

)n+1]②
①-②得

1

2

Tn=4[

1

2

+(

1

2

)2++(

1

2

)n-n(

1

2

)n+1]=4[

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-n•(

1

2

)n+1]
∴Tn=8(1-

n+2

2n+1

)（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列定義，及數(shù)列求和中常用的錯(cuò)位相減法．錯(cuò)位相減法是在數(shù)列求和中用的最為普遍．