Question

已知函數f（x）=4x³+3tx²-6t²x+t-1，其中t＞0．
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）證明：對任意的t∈（0，+∞），f（x）在區(qū)間（0，1）內均存在零點．

Answer 1

（1）f'（x）=12x²+6tx-6t²，令f′（x）=0，得x=-t或x=．
∵t＞0，∴，
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-t）
f'（x）	+	-	+
f（x）	↗	↘	↗

∴f（x）的單調遞增區(qū)間是（-∞，-t），，f（x）的單調遞減區(qū)間是．
（2）證明：由（1）可知，當t＞0時，f（x）在內單調遞減，在內單調遞增，以下分兩種情況討論：
①當，即t≥2時，f（x）在（0，1）內單調遞減，f（0）=t-1＞0，f（1）=-6t²+4t+3≤-6×4+4×2+3＜0．
所以對任意t∈[2，+∞），f（x）在區(qū)間（0，1）內均存在零點．
②當，即0＜t＜2時，f（x）在內單調遞減，在內單調遞增，
若t∈（0，1]，，f（1）=-6t²+4t+3≥-6t+4t+3=3-2t＞0，所以f（x）在內存在零點．
若t∈（1，2），，f（0）=t-1＞0，所以f（x）在內存在零點．
所以，對任意t∈（0，2），f（x）在區(qū)間（0，1）內均存在零點．
綜上，對任意t∈（0，+∞）在區(qū)間（0，1）內均存在零點．
分析：（1）求出f′（x），解方程f′（x）=0，以表格表示當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況，由表格即可求出單調區(qū)間；
（2）借助（1）問的結論，按照函數零點的存在條件，分情況進行討論，可證明．
點評：本題考查函數的零點存在條件以及利用導數研究函數的單調性問題，本題中滲透了分類討論思想．