Question

已知平面內一動點P到定點F（2，0）的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于2．
（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點F作傾斜角為60°的直線l與軌跡C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）兩點，O為坐標原點，點M為軌跡C上一點，若向量

OM

=

OA

+λ

OB

，求λ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)平面內一動點P到定點F（2，0）的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于2，可得P到F的距離等于P到直線x=-2的距離，從而擴大圓心P的軌跡為以F（2，0）為焦點的拋物線，即可求得軌跡C的方程；
（Ⅱ）求出直線，代入拋物線方程，求出交點坐標，利用向量條件，可得M的坐標，結合點M為軌跡C上一點，即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）∵平面內一動點P到定點F（2，0）的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于2，
∴P到F的距離等于P到直線x=-2的距離
∴圓心P的軌跡為以F（2，0）為焦點的拋物線
∴軌跡C的方程為y²=8x；
（Ⅱ）設M（x，y），則直線l的方程為y=

3

（x-2）
代入y²=8x得：3x²-20x+12=0
∴x₁=

2

3

，x₂=6
∴y₁=-

4 3

3

，y₂=4

3

∵

OM

=

OA

+λ

OB

，
∴x=x₁+λx₂，y=y₁+λy₂，
∴x=

2

3

+6λ，y=-

4 3

3

+4

3

λ
∵點M為軌跡C上一點，∴y²=8x，
∴（-

4 3

3

+4

3

λ）²=8（

2

3

+6λ）
∴3λ²-5λ=0
∴λ=

5

3

或0．

點評：本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．