Question

已知M(-

3

，0)，N(

3

，0)是平面上的兩個定點，動點P滿足|PM|+|PN|=2

6

．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）已知圓方程為x²+y²=2，過圓上任意一點作圓的切線，切線與（1）中的軌跡交于A，B兩點，O為坐標原點，設Q為AB的中點，求|OQ|長度的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由M(-

3

，0)，N(

3

，0)是平面上的兩個定點，動點P滿足|PM|+|PN|=2

6

．可得橢圓的a，c的值，進而求出b值，可得動點P的軌跡方程；
（2）如果圓的切線斜率不存在，可得|OQ|=

2

，如果圓的切線斜率存在，設圓的切線方程為y=kx+b，聯立橢圓方程，由韋達定理及直線AB與圓x²+y²=2相切，可得OA⊥OB，進而由弦長公式和基本不等式可求出|OQ|長度的取值范圍．

解答：解：（1）∵M(-

3

，0)，N(

3

，0)是平面上的兩個定點，動點P滿足|PM|+|PN|=2

6

．
依橢圓的定義知，點P的軌跡為焦點在x軸上的橢圓，
且a=

6

，c=

3

，b=

3

，
所以動點P的軌跡方程為

x2

6

+

y2

3

=1．
（2）如果圓的切線斜率不存在，則AB方程為x=±

2

，此時，|OQ|=

2

．
如果圓的切線斜率存在，設圓的切線方程為y=kx+b，
代入橢圓方程得：（1+2k²）x²+4bkx+2b²-6=0①
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂為方程①的解，
所以x1+x2=-

4kb

1+2k2

，x1•x2=

2b2-6

1+2k2

②
因為x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2，
把②式代入得：x1x2+y1y2=(1+k2)•

2b2-6

1+2k2

+kb•(-

4kb

1+2k2

)+b2=

3(b2-2k2-2)

1+2k2

③
又因為直線AB與圓x²+y²=2相切，
所以

|b|

1+k2

=

2

，即b²=2（1+k²），
代入③式得x₁x₂+y₁y₂=0，
因此OA⊥OB，
所以|OQ|=

1

2

|AB|．
由b²=2（1+k²）得|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=2

2

1+ k2 4k4+4k2+1

，
因為

k2

4k4+4k2+1

≥0，所以|AB|≥2

2

（當且僅當k=0時取等號）．
k≠0時，

k2

4k4+4k2+1

=

1

4k2+ 1 k2 +4

≤

1

8

，
因此|AB|≤3（當且僅當k=±

2

2

時取等號）．
綜上，2

2

≤|AB|≤3，所以

2

≤|OQ|≤

3

2

．

點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的關系，軌跡方程，解答（1）的關鍵是熟練掌握橢圓的定義，而（2）的綜合性強，運算強度大，是高考常見的壓軸題型，屬于難題．