設函數(shù)f(x)=ex
(I)求證:f(x)≥ex;
(II)記曲線y=f(x)在點P(t,f(t))(其中t<0)處的切線為l,若l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S,求S的最大值.
分析:(I)設g(x)=ex-ex,則g′(x)=ex-e,由g′(x)=ex-e=0,得x=1,利用導數(shù)性質能夠證明f(x)≥ex.
(II)由f′(x)=ex,知曲線y=f(x)在點P外切線為l:y-et=et(x-t),切線l與x軸的交點為(t-1,0),與y軸的交戰(zhàn)為(0,et-tet),由此入手能夠推導出當t=-1時,S有最大值.
解答:(I)證明:設g(x)=ex-ex,∴g′(x)=ex-e,
由g′(x)=ex-e=0,得x=1,
∴在區(qū)間(-∞,1)上,g′(x)<0,
函數(shù)g(x)在區(qū)間(-∞,1)上單調遞減,
在區(qū)間(1,+∞)上,g′(x)>0,
函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調遞增,
g(x)≥g(1)=0,
∴f(x)≥ex.
(II)解:∵f′(x)=ex,∴曲線y=f(x)在點P外切線為l:y-et=et(x-t),
切線l與x軸的交點為(t-1,0),與y軸的交戰(zhàn)為(0,et-tet),
∵t<0,∴S=S(t)=
1
2
(1-t)•(1-t)et
=
1
2
(1-2t+t2)et

S=
1
2
et(t2-1)
,
在(-∞-1)上,S(t)單調增,在(-1,0)上,S(t)單調減,
∴當t=-1時,S有最大值,此時S=
2
e
點評:本題考查不等式的證明,考查三角形面積最大值的求法.解題時要認真審題,仔細解答,注意導數(shù)的性質和等價轉化思想的合理運用.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2
(1)若a=0,求f(x)的單調區(qū)間;
(2)若當x≥0時f(x)≥0,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

18、設函數(shù)f(x)=ex[x2-(1+a)x+1](x∈R),
(I)若曲線y=f(x)在點P(0,f(0))處的切線與直線y=x+4平行.求a的值;
(II)求函數(shù)f(x)單調區(qū)間.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=ex+aex(x∈R)是奇函數(shù),則實數(shù)a=
-1
-1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=ex(e為自然對數(shù)的底數(shù)),g(x)=x2-x,記h(x)=f(x)+g(x).
(1)h′(x)為h(x)的導函數(shù),判斷函數(shù)y=h′(x)的單調性,并加以證明;
(2)若函數(shù)y=|h(x)-a|-1=0有兩個零點,求實數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案