Question

設(shè)橢圓C：（a，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，若P 是橢圓上的一點(diǎn)，，離心率．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P 是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)過(guò)定點(diǎn)P（0，2）的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵，離心率
∴2a=4，e==
∴a=2，c=
∴b²=1
∴橢圓C的方程為
（2）由（1）可得
∴，
∴=（）（）+（-y）（-y）
=x²+y²-3
=-3
==
∵x＞0
∴x=1
∵y＞0
∴y=，故P（1，）
（3）顯然直線x=0不滿(mǎn)足題設(shè)，可設(shè)直線y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立整理可得，（）x²+4kx+3=0
∴x₁+x₂=-，，
y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=
由可得，k或k
∵∠AOB為銳角
∴＞0
∴
∴-2＜k＜2
綜上可得，或-2
分析：（1）由，結(jié)合橢圓定義可求a，由離心率可求c，然后求出b即可求解橢圓C的方程
（2）由（1）的條件先表示，然后結(jié)合橢圓方程及二次函數(shù)的性質(zhì)可求
（3）由題意可設(shè)直線y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線與橢圓方程可得x₁+x₂，x₁x₂，然后可求
y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2），由及＞0可求k的范圍
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了由橢圓性質(zhì)求解橢圓的方程，向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，直線與橢圓相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，屬于圓錐曲線的綜合應(yīng)用．