Question

已知橢圓C：，左焦點，且離心率
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點M，N（M，N不是左、右頂點），且以MN為直徑的圓經(jīng)過橢圓C的右頂點A．求證：直線l過定點，并求出定點的坐標(biāo)．

Answer 1

（I）解：∵橢圓C：，
左焦點，且離心率，
∴c=，，
∴a=2，b²=4-3=1，
∴橢圓C的方程．
（II）證明：設(shè)M（x₁，y₁） N（x₂，y₂），
右頂點A（2，0）
，
∵以MN為直徑的圓經(jīng)過橢圓C的右頂點A，
∴（2-x₂）（2-x₁）+y₁y₂=0，
∵y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
∴4+（km-2）（x₁+x₂）+（1+k²）x₁x₂+m²=0 ①
把y=kx+m代入橢圓方程，
得+（kx+m）²=1，
整理，得（+k²）x²+2kmx+m²-1=0，
所以x₁x₂=，x₁+x₂=-，②
把②入①，得
4+（km-2）•（-）+（1+k²）•+m²
=（5m²+16km+12k²）÷（1+4k²）
=（m+2k）（5m+6k）÷（1+4k²）
=0
所以m+2k=0 或者 m+k=0
當(dāng)m+2k=0時，直線y=kx-2k恒過點（2，0）和A點重合顯然不符合
當(dāng)m+k=0時 直線恒過點（，0）符合題意
所以該定點坐標(biāo)就是（，0）．
分析：（I）由題設(shè)知c=，，由此能求出橢圓C的方程．
（II）設(shè)M（x₁，y₁） N（x₂，y₂），右頂點A（2，0），，由以MN為直徑的圓經(jīng)過橢圓C的右頂點A，知（2-x₂）（2-x₁）+y₁y₂=0，由y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，知4+（km-2）（x₁+x₂）+（1+k²）x₁x₂+m²=0．把y=kx+m代入橢圓方程，得（+k²）x²+2kmx+m²-1=0，再由韋達定理結(jié)合題設(shè)條件能求出該定點坐標(biāo)．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．