Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（ ）x ， 函數(shù)g（x）=log x．
（1）若g（ax2+2x+1）的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈[（ ）t+1 ， （ ）t]時(shí)，求函數(shù)y=[g（x）]2﹣2g（x）+2的最小值h（t）；
（3）是否存在非負(fù)實(shí)數(shù)m，n，使得函數(shù)y=log f（x2）的定義域?yàn)閇m，n]，值域?yàn)閇2m，2n]，若存在，求出m，n的值；若不存在，則說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解： 定義域?yàn)镽；

所以ax2+2x+1＞0對(duì)一切x∈R成立；

當(dāng)a=0時(shí)，2x+1＞0不可能對(duì)一切x∈R成立；

所以 即： ；

綜上 a＞1

（2）解： ；

令 ；

所以y=u2﹣2u+2=（u﹣1）2+1，u∈[t，t+1]；

當(dāng)t≥1時(shí)， ；

當(dāng)0＜t＜1時(shí)，ymin=1；

當(dāng)t≤0時(shí)， ；

所以

（3）解：y=x2在[0，+∞）上是增函數(shù)；

若存在非負(fù)實(shí)數(shù)m、n滿足題意，則 ；

即m、n是方程x2=2x的兩非負(fù)實(shí)根，且m＜n；

所以m=0，n=2；

即存在m=0，n=2滿足題意

【解析】（1）g（ax2+2x+1）的定義域?yàn)镽，即所以ax2+2x+1＞0對(duì)一切x∈R成立，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)問(wèn)題；（2）利用換元法構(gòu)造新函數(shù)y=u2﹣2u+2=（u﹣1）2+1，u∈[t，t+1]；對(duì)參數(shù)t分類討論其位置，判斷函數(shù)的最小值即可；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，列出方程組 ，轉(zhuǎn)化為：即m、n是方程x2=2x的兩非負(fù)實(shí)根，且m＜n；