Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂為雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與雙曲線C在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)P，若|PF₁|+|PF₂|=6a，且△PF₁F₂為銳角三角形，則直線OP斜率的取值范圍是（　�。�

• A、(

  2 3

  3

  ，

  4

  3

  )
• B、(

  4

  3

  ，

  3

  )
• C、(1，

  2 3

  3

  )
• D、(

  2 3

  3

  ，

  2

  )

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：首先，設(shè)直線OP的方程，然后根據(jù)雙曲線的定義，并結(jié)合條件|PF₁|+|PF₂|=6a，求解|PF₁|和|PF₂|的值，然后，根據(jù)△PF₁F₂為銳角三角形，聯(lián)立方程組寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)，最后限制范圍即可．

解答： 解：∵|PF₁|+|PF₂|=6a，
|PF₁|-|PF₂|=2a，
∴|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，
∵|F₁F₂|=2c，
∵△PF₁F₂為銳角三角形，
∴

(4a)2+(2a)2-(2c)2＞0 (4a)2+(2c)2-(2a)2＞0 (2a)2+(2c)2-(4a)2＞0

，
∴

5a2-c2＞0 3a2+c2＞0 c2-3a2＞0

，
∴

3

＜e＜

5

，
∴3＜1+（

b

a

）²＜5，
∴

2

＜

b

a

＜2，
欲使得過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與雙曲線C在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)P，
∴k∈（

2 3

3

，

4

3

）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．解題關(guān)鍵是理解直線與雙曲線的位置關(guān)系處理思路和方法．