已知函數(shù)數(shù)學(xué)公式
(Ⅰ)若x=1時,f(x)取得極值,求a的值;
(Ⅱ)求f(x)在[0,1]上的最小值;
(Ⅲ)若對任意m∈R,直線y=-x+m都不是曲線y=f(x)的切線,求a的取值范圍.

解:(I)∵f'(x)=x2-a,
當(dāng)x=1時,f(x)取得極值,∴f'(1)=1-a=0,a=1.
又當(dāng)x∈(-1,1)時,f'(x)<0,x∈(1,+∞)時,f'(x)>0,
∴f(x)在x=1處取得極小值,即a=1符合題意
(II) 當(dāng)a≤0時,f'(x)>0對x∈(0,1]成立,
∴f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增,f(x)在x=0處取最小值f(0)=1.
當(dāng)a>0時,令f'(x)=x2-a=0,
當(dāng)0<a<1時,,當(dāng)時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.
所以f(x)在處取得最小值
當(dāng)a≥1時,,x∈(0,1)時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減
所以f(x)在x=1處取得最小值
綜上所述:
當(dāng)a≤0時,f(x)在x=0處取最小值f(0)=1.
當(dāng)0<a<1時,f(x)在處取得最小值
當(dāng)a≥1時,f(x)在x=1處取得最小值
(III)因?yàn)?m∈R,直線y=-x+m都不是曲線y=f(x)的切線,
所以f'(x)=x2-a≠-1對x∈R成立,
只要f'(x)=x2-a的最小值大于-1即可,
而f'(x)=x2-a的最小值為f(0)=-a
所以-a>-1,即a<1.
分析:(Ⅰ)由已知當(dāng)x=1時,f(x)取得極值,所以必有f(1)=0,據(jù)此可求出a的值,再驗(yàn)證a的值是否滿足取得的極值條件即可.
(Ⅱ)先對函數(shù)f(x)求導(dǎo)得f(x),需要對a進(jìn)行分類討論,看其在區(qū)間(0,1)或其子區(qū)間上f(x)與0進(jìn)行比較,可得到其單調(diào)性,進(jìn)而求出其最小值.
(Ⅲ)因?yàn)?m∈R,直線y=-x+m都不是曲線y=f(x)的切線,所以f'(x)=x2-a≠-1對x∈R成立,進(jìn)而求出a的取值范圍即可.
點(diǎn)評:深刻理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義及熟練利用導(dǎo)數(shù)求極值、最值是解題的關(guān)鍵.分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想是解題常用的思想方法,應(yīng)熟練掌握.
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(3)若對任意,直線都不是曲線的切線,求實(shí)數(shù)的取值范圍。

 

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