如圖,四棱錐中,面,、分別為、的中點,,.
(1)證明:∥面;
(2)求面與面所成銳角的余弦值.
(1)見解析;(2).
解析試題分析:(1)(1) 利用三角形中位線定理,得出∥ .
(2)利用平幾何知識,可得一些線段的長度及,進一步以為軸建立坐標系,
得到,
確定面與面的法向量、:
由,可得令;
由又,可得令,進一步得到.
本題首先探究幾何體中的線面、線線垂直關(guān)系,創(chuàng)造建立空間直角坐標系的條件,應(yīng)用“向量法”,確定二面角的余弦值.
解答本題的關(guān)鍵是確定“垂直關(guān)系”,這也是難點所在,平時學(xué)習(xí)中,應(yīng)特別注意轉(zhuǎn)化意識的培養(yǎng),能從“非規(guī)范幾何體”,探索得到建立空間直角坐標系的條件.
試題解析:(1)因為、分別為、的中點,
所以∥ 2分
因為面,面
所以∥面 4分
(2)因為
所以
又因為為的中點
所以
所以
得,即 6分
因為,所以
分別以為軸建立坐標系
所以
則 8分
設(shè)、分別是面與面的法向量
則,令
又,令 11分
所以 12分
考點:直線與平面、平面與平面垂直,二面角的定義,空間向量的應(yīng)用.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知平行四邊形ABCD中,AB=6,AD=10,BD=8,E是線段AD的中點.沿直線BD將△BCD翻折成△BCD,使得平面BCD平面ABD.
(1)求證:C'D平面ABD;
(2)求直線BD與平面BEC'所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,平面平面,是以為斜邊的等腰直角三角形,分別為,,的中點,,.
(1)設(shè)是的中點,證明:平面;
(2)證明:在內(nèi)存在一點,使平面,并求點到,的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐S-ABCD中,SD⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,SD=AD=AB,E是SA的中點.
(1)求證:平面BED⊥平面SAB.
(2)求直線SA與平面BED所成角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,四棱錐S-ABCD中,ABCD為矩形,SD⊥AD,且SD⊥AB,AD=a(a>0),AB=2AD,SD=AD,E為CD上一點,且CE=3DE.
(1)求證:AE⊥平面SBD.
(2)M,N分別為線段SB,CD上的點,是否存在M,N,使MN⊥CD且MN⊥SB,若存在,確定M,N的位置;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,O為AC與BD的交點,E為PB上任意一點.
(1)證明:平面EAC⊥平面PBD;
(2)若PD∥平面EAC,并且二面角B-AE-C的大小為45°,求PD∶AD的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖所示,四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,∠ACB=∠ACD=,F(xiàn)為PC的中點,AF⊥PB.
(1)求PA的長;
(2)求二面角B-AF-D的正弦值.
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