Question

若點(diǎn)P（3，1），是圓x²+y²-4x-21=0的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程是________．

Answer 1

x+y-4=0
分析：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心O的坐標(biāo)和圓的半徑，然后根據(jù)垂徑定理，由P為弦AB的中點(diǎn)，得到OP垂直于AB，根據(jù)圓心與P的坐標(biāo)求出直線OP的斜率，根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1求出直線AB的斜率，又直線AB過點(diǎn)P，由P的坐標(biāo)和求出的斜率寫出直線AB的方程即可．
解答：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x-2）²+y²=25，
所以圓心O坐標(biāo)為（2，0），圓的半徑r=5，
根據(jù)垂徑定理得：OP⊥AB，又P（3，1），∴k_OP==1，
則k_AB=-1，又直線AB過點(diǎn)P，
所以直線AB的方程為：y-1=-1（x-3），即x+y-4=0．
故答案為：x+y-4=0
點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，垂徑定理及兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系．由P為弦AB的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理得到圓心與P的連線垂直于弦是本題的突破點(diǎn)．