已知O為△ABC的外心，以線段OA、OB為鄰邊作平行四邊形，第四個頂點(diǎn)為D，再以O(shè)C、OD為鄰邊作平行四邊形，它的第四個頂點(diǎn)為H．
（1）若
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，
OH
=
h
，試用
a
、
b
、
c
表示
h
；
（2）證明：
AH
⊥
BC
；
（3）若△ABC的∠A=60°，∠B=45°，外接圓的半徑為R，用R表示|
h
|．
分析：（1）利用向量加法的平行四邊形法則，用已知向量表示向量
c

（2）要證明向量
AH
⊥
BC
，只要證明
AH
•
BC
=0，利用O是三角形的外心，可得|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|，然后用向量
a
，
b
，
c
表示
h

（3）利用已知的角，結(jié)合向量的數(shù)量積把已知的
h
=
a
+
b
+
c
兩邊平方整理可得外接圓半徑
解答：解：（1）由平行四邊形法則可得：
OH
=
OC
+
OD
=
OC
+
OA
+
OB

即
h
=
a
+
b
+
c

（2）∵O是△ABC的外心，
∴|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|，
即|
a
|=|
b
|=|
c
|，而
AH
=
OH
-
OA
=
h
-
a
=
b
+
c
，
CB
=
OB
-
OC
=
b
-
c

∴
AH
•
CB
=(
b
+
c)
•(
b
-
c
)=|
b
|-|
c
|=0，∴
AH
⊥
CB

（3）在△ABC中，O是外心A=60°，B=45°
∴∠BOC=120°，∠AOC=90°
于是∠AOB=150°|
h
|2=（
a
+
b
+
c
)2=
a
2+
b
2+
c
2+2
a
•
b
+2
b
•
c
+2
c
•
a

=3R2+2|
a
|•|
b
|•cos150°+2|
a
|•|
c
|•cos90 °+2|
b
|•|
c
|•cos120°
=（2-
3
）R2
∴|
h
|=
6
-
2
2
R
點(diǎn)評：本題主要考查向量的加法的平行四邊形法則，兩向量垂直的證明方法及向量數(shù)量積的定義，綜合運(yùn)用向量的知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握向量的基本知識．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知O為△ABC所在平面外一點(diǎn)，且
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，OA，OB，OC兩兩互相垂直，H為△ABC的垂心，試用
a
，
b
，
c
表示
OH
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•道里區(qū)三模）已知四面體P-ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=
3
AB，若四面體P-ABC的體積為
3
2
，則該球的體積為
4
3
π
4
3
π
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知四面體P-ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥面ABC，2AC=
3
AB，若四面體P-ABC的體積為
3
2
，則P、C兩點(diǎn)間的球面距離為
3
2
п
3
2
п
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•吉林二模）已知四面體P-ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=
3
AB，若四面體P-ABC的體積為
3
2
，則該球的體積為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知O是△ABC的外心,P是平面ABC外的一點(diǎn),且PA=PB=PC,α是經(jīng)過PO的任意一個平面,則α與平面ABC所成的角為_______________.

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同步練習(xí)冊答案