Question

設(shè)函數(shù)f（x）=xlnx（x＞0），g（x）=-x+2，
（I）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)M（e，f（e））處的切線方程；
（II）設(shè)F（x）=ax²-（a+2）x+f′（x）（a＞0），討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（III）設(shè)函數(shù)H（x）=f（x）+g（x），是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)m和M（m＜M），使得對(duì)每一個(gè)t∈[m，M]，直線y=t與曲線y=H(x)(x∈[

1

e

，e])都有公共點(diǎn)？若存在，求出最小的實(shí)數(shù)m和最大的實(shí)數(shù)M；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）f′（x）=lnx+1（x＞0），則函數(shù)f（x）在點(diǎn)M（e，f（e））處切線的斜率為f′（e）=2，由此能求出函數(shù)f（x）在點(diǎn)M（e，f（e））處的切線方程．
（II）F（x）=ax²-（a+2）x+lnx+1，x＞0，F(xiàn)′（x）=2ax-（a+2）+

1

x

=

(2x-1)(ax-1)

x

，x＞0，a＞0，令F′（x）=0，則x=

1

2

，或

1

a

，由此進(jìn)行分類討論，能求出函數(shù)F（x）的單調(diào)性．
（III）H（x）=-x+2+xlnx，H′（x）=lnx，令H′（x）=0，則x=1，由此列表討論，能夠推導(dǎo)出存在實(shí)數(shù)m=1和M=2，使得對(duì)每一個(gè)t∈[m，M]，直線y=t與曲線y=H（x），x∈[

1

e

，e]都有公共點(diǎn)．

解答：解：（I）f′（x）=lnx+1（x＞0），
則函數(shù)f（x）在點(diǎn)M（e，f（e））處切線的斜率為f′（e）=2，f（e）=e，
∴所求切線方程為y-e=2（x-e），即y=2x-e．
（II）F（x）=ax²-（a+2）x+lnx+1，x＞0
F′（x）=2ax-（a+2）+

1

x

=

2ax2-(a+2)x+1

x

=

(2x-1)(ax-1)

x

，x＞0，a＞0，
令F′（x）=0，則x=

1

2

，或

1

a

，
①當(dāng)0＜a＜2，即

1

a

＞

1

2

時(shí)，令F′（x）＞0，解得0＜x＜

1

2

，或x＞

1

a

；
令F′（x）＜0，解得

1

2

＜x＜

1

a

；
∴F（x）在（0，

1

2

），（

1

a

，+∞）上單調(diào)遞增，在（

1

2

，

1

a

）單調(diào)遞減．
②當(dāng)a=2，即

1

a

=

1

2

時(shí)，F(xiàn)′（x）≥0恒成立，
∴F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
③當(dāng)a＞2，即

1

a

＜

1

2

時(shí)，令F′（x）＞0，解得0＜x＜

1

a

或x＞

1

2

；
令F′（x）＜0，解得

1

a

＜x＜

1

2

；
∴F（x）在（0，

1

a

），（

1

2

，+∞）上單調(diào)遞增，在（

1

a

，

1

2

）單調(diào)遞減．
（III）H（x）=-x+2+xlnx，H′（x）=lnx，令H′（x）=0，則x=1，
當(dāng)x在區(qū)間（

1

e

，e）內(nèi)變化時(shí)，H′（x），H（x）的變化情況如下表：

x	1 e	（ 1 e ，1）	1	（1，e）	e
H′（x）		-	0	+
H（x）	2- 2 e	↘	極小值1	↗	2

又∵2-

2

e

＜2，∴函數(shù)H(x)=-x+2+xlnx(x∈[

1

e

，e])的值域?yàn)閇1，2]． 
據(jù)此可得，若

m=1 M=2

，則對(duì)每一個(gè)t∈[m，M]，
直線y=t與曲線y=H（x），x∈[

1

e

，e]都有公共點(diǎn)；
并且對(duì)每一個(gè)t∈（-∞，m）∪（M，+∞），直線y=t與曲線y=H（x），x∈[

1

e

，e]都沒(méi)有公共點(diǎn)．
綜上，存在實(shí)數(shù)m=1和M=2，使得對(duì)每一個(gè)t∈[m，M]，
直線y=t與曲線y=H（x），x∈[

1

e

，e]都有公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線的切線方程的求法，考查函數(shù)的最大值與最小值的應(yīng)用．綜合性強(qiáng)，難度大，具有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維要求較高．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．