已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）2-2sin2x．
（I）若將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移a（a＞0）個單位長度得到的圖象恰好關(guān)于點(
π
4
，0)對稱，求實數(shù)a的最小值；
（II）若函數(shù)y=f(x)在[
b
4
π，
3b
8
π](b∈N*)上為減函數(shù)，試求實數(shù)b的值．
分析：（I）由題意可得：f（x）=
2
sin(2x+
π
4
），平移a個單位長度后得到函數(shù)f（x）=
2
sin(2x+2a+
π
4
)，根據(jù)對稱性可得2×
π
4
+2a+
π
4
=kπ，即可得到a=-
3π
8
+
kπ
2
進(jìn)而得到答案．
（II）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得：y=
2
sin(2x+
π
4
)的遞減區(qū)間為：[kπ+
π
8
，kπ+
5π
8
]，結(jié)合題意可得kπ+
π
8
≤
b
4
π≤
3b
8
π≤kπ+
5π
8
，即
1
2
+4k≤
5
3
+
8
3
k，解得k≤
7
8
，進(jìn)而求出b的數(shù)值．
解答：解：（I）由題意可得：f（x）=
2
sin(2x+
π
4
），
將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移a（a＞0）個單位長度得到函數(shù)f（x）=
2
sin(2(x+a)+
π
4
)=
2
sin(2x+2a+
π
4
）的圖象
∵函數(shù)y=
2
sin(2x+2a+
π
4
)關(guān)于點(
π
4
，0）對稱，
所以2×
π
4
+2a+
π
4
=kπ（k∈Z），即a=-
3π
8
+
kπ
2
，（k∈Z）
因為a＞0，所以k＞
3
4
，
所以當(dāng)k=1時，a有最小值
π
8
．
（II）∵y=
2
sin(2x+
π
4
)在[
b
4
π，
3b
8
π](b∈N*）上為減函數(shù)，并且y=
2
sin(2x+
π
4
)的遞減區(qū)間為：[kπ+
π
8
，kπ+
5π
8
]，k∈Z，
∴kπ+
π
8
≤
b
4
π≤
3b
8
π≤kπ+
5π
8

∴
1
2
+4k≤b≤
5
3
+
8
3
k
由
1
2
+4k≤
5
3
+
8
3
k得k≤
7
8
，
∵k∈Z∴k=0，
∴
1
2
≤b≤
5
3
，
又因為b∈N*，
所以b=1．
點評：本題主要考查正弦函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，即對稱性、單調(diào)性以及三角函數(shù)圖象的平移變換．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達(dá)式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2010的值為（　　）
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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