Question

11．已知函數(shù)f（x）=|x²-a|，g（x）=x²-ax，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值M（a）的最小值；
（Ⅲ）若關(guān)于x的方程f（x）+g（x）=0在（0，2）上有兩個(gè)解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)直接去絕對值符號，結(jié)合二次函數(shù)的圖象即得結(jié)論；
（Ⅱ）利用f（x）為偶函數(shù)可知只需考慮f（x）在[0，1]上的最大值即可，進(jìn)而對a的正、負(fù)、零情況分類討論即可．
（Ⅲ）通過令y=f（x）+g（x），對a的正、負(fù)、零情況討論可知a≤0不滿足題意，進(jìn)而考慮a＞0，此時(shí)y是一個(gè)分段函數(shù)，利用方程h（x）=2x²-ax-a=0在（0，+∞）只有一解可知方程-ax+a=0必有一解x=1，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|x²-1|，
∴當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f（x）=1-x²，
顯然f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值為f（0）=1．
（Ⅱ）由于f（x）=|x²-a|在區(qū)間[-1，1]上是偶函數(shù)，故只需考慮f（x）在[0，1]上的最大值即可．
若a≤0，則f（x）=x²-a，它在[0，1]上是增函數(shù)，故M（a）=1-a．
若a＞0，由a=1-a知，當(dāng)$a＜\frac{1}{2}$時(shí)，M（a）=1-a，當(dāng)$a≥\frac{1}{2}$時(shí)，M（a）=a，
故當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，M（a）最小，最小值為$\frac{1}{2}$．
（Ⅲ）令y=f（x）+g（x），
當(dāng)a=0時(shí)，方程y=2x²=0只有一解，
當(dāng)a＜0，y=2x²-ax-a對稱軸為$x=\frac{a}{4}＜0$，
故方程f（x）+g（x）=0在（0，2）上不存在兩解．
當(dāng)a＞0時(shí)，$y=\left\{{\begin{array}{l}{2{x^2}-ax-a（x＜-a或x＞a）}\\{-ax+a（-a≤x≤a）}\end{array}}\right.$，
令h（x）=2x²-ax-a，由h（0）=-a＜0知，方程h（x）=0在（0，+∞）只有一解，
故方程-ax+a=0必有一解x=1，知a≥1，所以方程h（x）=0在（1，2）必有一解．
由h（1）h（2）＜0，得（2-2a）（8-3a）＜0，所以$1＜a＜\frac{8}{3}$，
綜上所述，a的取值范圍為：[1，$\frac{8}{3}$]．

點(diǎn)評 本題是一道關(guān)于導(dǎo)數(shù)的綜合題，涉及分類討論的思想，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于難題．