Question

已知函數(shù)，f（x）=，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）
（I）求證數(shù)列{}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）記S_n=a₁a₂+a₂a₃+..a_na_n+1，求S_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）直接利用a_n+1=f（a_n）得到．再對其取倒數(shù)整理即可證數(shù)列{}是等差數(shù)列；進而求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）利用（I）的結(jié)論以及所問問題的形式，直接利用裂項相消求和法即可求S_n．
解答：解：（I）由條件得，．
∴⇒=3．
∴數(shù)列{}是首項為=1，公差d=3的等差數(shù)列．
∴=1+（n-1）×3=3n-2．
故a_n=．
（II）∵a_na_n+1=（）．
∴S_n═a₁a₂+a₂a₃+..a_na_n+1
=[（1-）+（）+…+（）]
=（1-）=．
點評：本題第二問主要考查了數(shù)列求和的裂項相消法．裂項相消法一般適用于一數(shù)列的通項是一分式形式且分子為常數(shù)，而分母是某一等差數(shù)列相鄰兩項的乘積組成．