精英家教網(wǎng)如圖,側(cè)棱垂直底面的三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC位于平行四邊形ACDE中,AE=2,AC=AA1=4,∠E=60°,點(diǎn)B為DE中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面A1BC⊥平面A1ABB1
(Ⅱ)設(shè)二面角A1-BC-A的大小為α,直線AC與平面A1BC所成的角為β,求sin(α+β)的值.
分析:(1)要證明平面A1BC⊥平面A1ABB1,關(guān)鍵是要在一個(gè)平面內(nèi)找到一條與另外一個(gè)平面垂直的直線,我可們以利用已知,證明AB⊥BC,AA1⊥BC,根據(jù)已知條件,我們有兩種思路證明線線垂直的辦法,進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理,得到BC垂直平面A1ABB1.再由面面垂直的判定定理得到結(jié)論;
(2)由(Ⅰ)可知A1B⊥BC,AB⊥BC即∠A1BA為二面角A1-BC-A的平面角,即∠A1BA=α,由平面A1BC⊥平面A1ABB1,且平面A1BC∩平面A1ABB1=A1B,得AF⊥平面A1BC,即∠ACD為直線AC與平面A1BC所成的角,即∠ACD=β.求出α、β的三角函數(shù)值后,利用兩角和的正弦公式即可得到答案,而求α、β有兩種方法:一是構(gòu)造三角形,解三角形;二是建立空間坐標(biāo)系,利用空間向量求解.
解答:(Ⅰ)證法一:在平行四邊形ACDE中,
∵AE=2,AC=4,∠E=60°,點(diǎn)B為DE中點(diǎn).
∴∠ABE=60°,∠CBD=30°,從而∠ABC=90°,即AB⊥BC.精英家教網(wǎng)
又AA1⊥面ABC,BC?面ABC
∴AA1⊥BC,而AA1∩AB=A,
∴BC⊥平面A1ABB1
∵BC?平面A1BC
∴平面A1BC⊥平面A1ABB1

證法二:∵AE=2,AC=4,∠E=60°,點(diǎn)B為DE中點(diǎn).
∴AB=2,BC=2
3
,AB2+BC2=16=AC2,
∴AB⊥BC.
又AA1⊥面ABC,BC?面ABC,
∴AA1⊥BC,而AA1∩AB=A,
∴BC⊥平面A1ABB1
∵BC?平面A1BC,
∴平面A1BC⊥平面A1ABB1

(Ⅱ)方法一:由(Ⅰ)可知A1B⊥BC,AB⊥BC
∴∠A1BA為二面角A1-BC-A的平面角,即∠A1BA=α,
在Rt△A1AB中,sinα=sin∠A1BA=
AA1
A1B
=
2
5
5
cosα=
AB
A1B
=
5
5

以A為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz如圖所示,
其中A1(0,0,4),B(
3
,1,0)
,C(0,4,0),
AC
=(0,4,0)
,
A1B
=(
3
,1,-4)
,
BC
=(-
3
,3,0)
,
設(shè)
n
=(x,y,z)
為平面A1BC的一個(gè)法向量,則
n
A1B
=0
n
BC
=0
,∴
3
x+y-4z=0
-
3
x+3y=0
x=
3
y
z=y

令y=1,得平面A1BC的一個(gè)法向量
n
=(
3
,1,1)
,則sinβ=
|
AC
n
|
|
AC
||
n
|
=
4
5
=
5
5
,
0<β<
π
2
,∴cosβ=
1-sin2β
=
2
5
5

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=
2
5
5
×
2
5
5
+
5
5
×
5
5
=1
,
即sin(α+β)=1.(12分)

方法二:由(Ⅰ)可知A1B⊥BC,AB⊥BC精英家教網(wǎng)
∴∠A1BA為二面角A1-BC-A的平面角,即∠A1BA=α,
在Rt△A1AB中,AB=2,AA1=4,A1B=2
5
sinα=sin∠A1BA=
AA1
A1B
=
2
5
5
,cosα=
AB
A1B
=
5
5

過(guò)點(diǎn)A在平面A1ABB1內(nèi)作AF⊥A1B于F,連接CF,
則由平面A1BC⊥平面A1ABB1,且平面A1BC∩平面A1ABB1=A1B,得AF⊥平面A1BC
∴∠ACF為直線AC與平面A1BC所成的角,即∠ACF=β.
在Rt△ACF中,AF=
AA1•AB
A1B
=
4
5
5
,sinβ=
AF
AC
=
5
5
,cosβ=
1-sin2β
=
2
5
5

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=
2
5
5
×
2
5
5
+
5
5
×
5
5
=1
,
即sin(α+β)=1.
點(diǎn)評(píng):求二面角的大小,一般先作出二面角的平面角.此題是利用二面角的平面角的定義作出∠A1BA為二面角A1-BC-A的平面角,通過(guò)解∠A1BA所在的三角形求得∠A1BA.其解題過(guò)程為:作∠A1BA→證∠A1BA是二面角的平面角→計(jì)算∠A1BA,簡(jiǎn)記為“作、證、算”.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,側(cè)棱垂直底面的三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC位于平行四邊形ACDE中,AE=2,AC=AA1=4,∠E=60°,點(diǎn)B為DE中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面A1BC⊥平面A1ABB1
(Ⅱ)求二面角A-A1C-B的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,側(cè)棱垂直底面的三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AA1+AB+AC=3,AB=AC=t(t>0),P是側(cè)棱AA1上的動(dòng)點(diǎn).
(1)當(dāng)AA1=AB=AC時(shí),求證:A1C⊥平面ABC1;
(2)試求三棱錐P-BCC1的體積V取得最大值時(shí)的t值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•浙江模擬)如圖,側(cè)棱垂直底面的三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AA1+AB+AC=3,AB=AC=t(t>0),P是側(cè)棱AA1上的動(dòng)點(diǎn).
(Ⅰ)試求三棱錐P-BCC1的體積V取得最大值時(shí)的t值;
(Ⅱ)若二面角A-BC1-C的平面角的余弦值為
10
10
,試求實(shí)數(shù)t的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•泉州模擬)如圖,側(cè)棱垂直底面的三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AA1+AB+AC=3,AB=AC=t(t>0),P是側(cè)棱AA1上的動(dòng)點(diǎn).
(Ⅰ)當(dāng)AA1=AB=AC時(shí),求證:A1C⊥平面ABC1;
(Ⅱ)試求三棱錐P-BCC1的體積V取得最大值時(shí)的t值;
(Ⅲ)若二面角A-BC1-C的平面角的余弦值為
10
10
,試求實(shí)數(shù)t的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•梅州二模)如圖,側(cè)棱垂直底面的三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AA1+AB+AC=3,AB=AC=t(t>0).
(Ⅰ)當(dāng)AA1=AB=AC時(shí),求證:A1C⊥平面ABC1;
(Ⅱ)若二面角A-BC1-C的平面角的余弦值為
10
10
,試求實(shí)數(shù)t的值.

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