已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的離心率為
2
3
3
，且過點(diǎn)P（
6
，1）．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+
2
與雙曲線C恒有兩個不同的交點(diǎn)A和B，且
OA
•
OB
＞2（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
分析：（Ⅰ）利用離心率公式，結(jié)合點(diǎn)在雙曲線上，建立方程組，即可求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）先將直線與雙曲線方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為方程(1-3k2)x2-6
2
kx-9=0有兩個不同實(shí)根，再利用向量知識，結(jié)合
OA
•
OB
＞2，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由題意
c
a
=
2
3
3
6
a2
-
1
b2
=1
，∴a2=3，b2=1，∴雙曲線C的方程為
x2
3
-y2=1；
（Ⅱ）∵直線l：y=kx+
2
與雙曲線C恒有兩個不同的交點(diǎn)，
∴方程組
x2
3
-y2=1
y=kx+
2
恒有兩組不同的實(shí)數(shù)解，
∴方程(1-3k2)x2-6
2
kx-9=0有兩個不同實(shí)根，
∴
1-3k2≠0
△=(-6
2
k)2+4×9(1-3k2)＞0
，∴k2＜1且k2≠
1
3

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=
6
2
k
1-3k2
，x1x2=-
9
1-3k2

∵
OA
•
OB
＞2，∴x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+
2
k(x1+x2)+2＞2，
∴
k2-3
1-3k2
＞0，又∵k2＜1，
∴k∈(-1，-
3
3
)∪(
3
3
，1)．
點(diǎn)評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
7
=1，直線l過其左焦點(diǎn)F1，交雙曲線的左支于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=4，F(xiàn)2為雙曲線的右焦點(diǎn)，△ABF2的周長為20，則此雙曲線的離心率e=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的一個焦點(diǎn)與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，且該雙曲線的離心率為
5
，則該雙曲線的漸近線方程為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率e=2，點(diǎn)M(
5
，
3
)在雙曲線上．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線l與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，且
OP
•
OQ
=0．問：
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
是否為定值？若是請求出該定值，若不是請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知直線l：kx-y+1+2k=0（k∈R），則該直線過定點(diǎn)
（-2，1）
（-2，1）
；
（2）已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的一條漸近線方程為y=
4
3
x，則雙曲線的離心率為
5
3
5
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）滿足| 
a1
b
2
 |=0，且雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線y2=4
3
x的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的方程為
 
．

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