已知數(shù)列{an}滿足條件（n-1）an+1=（n+1）（an-1）且a1=1，a2=6，設(shè)bn=an+n，求{bn}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．
分析：計(jì)算前幾項(xiàng)，猜想數(shù)列的通項(xiàng)，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明；
解答：解：當(dāng)n=1時，a1=1，且a2=6
當(dāng)n=2時，a3=3（a2-1）=15，
當(dāng)n=3時，2a4=4（a3-1），∴a4=28，
猜測an=2n2-n，bn=2n2．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
ⅰ當(dāng)n=1時，等式b1=a1+1=2，b1=2，成立，
ⅱ假設(shè)當(dāng)n=k時，bk=2k2
則由（k-1）ak+1=（k+1）（ak-1），
有ak+1=
k+1
k-1
（k-1）（2k+1）=2k2+3k+1=2（k+1）2-（k+1），
bk+1=2(k+1)2-(k+1)+(k+1)=2（k+1）2
即n=k+1時，等式也成立
綜上，bn=2n2．對一切大于0的自然數(shù)都成立．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若數(shù)列{bn}滿足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn；
（3）數(shù)列{an-bn}是否存在最大項(xiàng)，如果存在求出，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1則{an}的通項(xiàng)公式
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k項(xiàng)的和S3k（用k，a表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•北京模擬）已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通項(xiàng)公式an等于
2n-1
2n-1
．

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