Question

20．?dāng)?shù)列{a_n}中，若a₁=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{1}{a_n}$+2，則這個(gè)數(shù)列的第20項(xiàng)為（　�。�

• A． $\frac{2}{77}$
• B． 40
• C． $\frac{1}{40}$
• D． $\frac{1}{39}$

Answer 1

分析 由a₁=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{1}{a_n}$+2，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：由a₁=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{1}{a_n}$+2，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)為2．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=2+2（n-1）=2n．
∴a_n=$\frac{1}{2n}$．
∴a₂₀=$\frac{1}{40}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等常數(shù)數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．