已知函數(shù)f（x）=，g（x）=alnx，aR．
（1）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）相交，且在交點處有相同的切線，求a的值及該切線的方程；
（2）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x），當h（x）存在最小值時，求其最小值的解析式；
（3）對（2）中的，證明：當a（0，+）時，1
解：（1）函數(shù)f（x）=，g（x）=alnx，aR．
f '（x）=，g '（x）=（x＞0），
由已知得解得
兩條曲線交點的坐標為（e2，e）．
切線的斜率為k=f '（e2）=，
切線的方程為y﹣e=（x﹣e2）．
（2）由條件知h（x）=﹣alnx（x＞0），
h '（x）=﹣=，
①當a＞0時，令h '（x）=0，解得x=4a2．
當0＜x＜4a2時，h '（x）＜0，h（x）在（0，4a2）上單調(diào)遞減；
當x＞4a2時，h '（x）＞0，h（x）在（4a2，+）上單調(diào)遞增．
x=4a2是h（x）在（0，+）上的惟一極值點，且是極小值點，從而也是h（x）的最小值點．
最小值（a）=h（4a2）=2a﹣aln（4a2）=2a[1﹣ln （2a）]．
②當a0時，h '（x）=＞0，h（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，無最小值．
故h（x）的最小值（a）的解析式為（a）=2a[1﹣ln （2a）]（a＞0）．
（3）證明：由（2）知（a）=2a（1﹣ln 2﹣ln a），
則'（a）=﹣2ln （2a）．
令'（a）=0，解得a=．
當0＜a＜時，'（a）＞0， （a）在（0，）上單調(diào)遞增；
當a＞時，'（a）＜0， （a）在（，+）上單調(diào)遞減．
（a）在a=處取得極大值?（）=1．
（a）在（0，+）上有且只有一個極值點，
（）=1也是（a）的最大值．
當a（0，+）時，總有（a）1．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2010的值為（　�。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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