Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）同時滿足：
（1）f（x₁+x₂）+f（x₁-x₂）=2f（x₁）cos2x₂+4asin²x₂（x₁，x₂∈R，a為常數(shù)）；
（2）f（0）=f（）=1；
（3）當x∈[0，]時，|f（x）|≤2
求：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）常數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）在f（x₁+x₂）+f（x₁-x₂）=2f（x₁）cos2x₂+4asin²x₂中，
分別令；；得
由①+②-③，得
2f（x）=2a+2cos2x-2cos（+2x）+4a（）-4a（）
=2a+2（cos2x+sin2x）-2a（cos2x+sin2x）
∴f（x）=a+（1-a）sin（2x+）
（Ⅱ）當x∈[0，]時，則≤2x≤，∴sin（2x+）∈[，1]．
∵|f（x）|≤2，
（1）當a＜1時，-2≤a+[（1-a）]≤f（x）≤a+（1-a）≤2．
即1-≤（1-）a≤2-，解得-≤a≤1，
故a的取值范圍[-，1）．
（2）當a≥1時，-2≤a+（1-a）≤f（x）≤1．即-2-≤（1-）a≤1-，
解得1≤a≤4+3．
綜上，滿足條件a的取值范圍[-，4+3]．
分析：（Ⅰ）根據(jù)題中的關系式和已知的函數(shù)值，分別給x₁和x₂三組值，必須與0以及有關，列出三個方程構(gòu)成一個方程組，對其進行化簡變形，再利用倍角公式和兩角和差的正弦（余弦）公式進行化簡，求出函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）由x的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求出sin（2x+）的范圍，根據(jù)a與1的大小進行分類求解，去掉絕對值利用平方差公式進行化簡求解，最后要把結(jié)果并在一起．
點評：本題是有關三角函數(shù)的較難的綜合題，求函數(shù)解析式時根據(jù)題意給兩個變量適當?shù)闹担�列出有關f（x）的幾個方程，通過觀察進行化簡求出解析式，還利用倍角公式和兩角和差的正弦（余弦）公式；求解絕對值不等式時需要對參數(shù)進行分類討論，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出正弦值的范圍，從而列出關于a的不等式進行求解，考查了分析問題和解決問題的能力．