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8．不等式x+$\frac{a}{x}$＞1（a∈R）在x∈（0，+∞）上恒成立的條件是$（\frac{1}{4}，+∞）$．

分析 x∈（0，+∞），則不等式x+$\frac{a}{x}$＞1化為：a＞x-x2，由于x-x2=$-（x-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，即可得出．

解答 解：∵x∈（0，+∞），
∴不等式x+$\frac{a}{x}$＞1化為：a＞x-x2，
∵x-x2=$-（x-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，當x=$\frac{1}{2}$時取等號，
不等式x+$\frac{a}{x}$＞1（a∈R）在x∈（0，+∞）上恒成立，
∴a＞$\frac{1}{4}$．
故答案為：$（\frac{1}{4}，+∞）$．

點評 本題考查了函數的單調性、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

練習冊系列答案
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