Question

15．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=4，點E、F分別為AB和PD的中點．
（1）求證：直線AF∥平面PEC；
（2）求平面PAD與平面PEC所成銳二面角的正切值．

Answer 1

分析 （1）取PC中點Q，連接EQ，F(xiàn)Q，推導(dǎo)出四邊形AEQF是平行四邊形，從而AF∥EQ，由此能證明直線AF∥平面PEC．
（2）以D為原點，DE為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法平面PAD與平面PEC所成銳二面角的正切值．

解答 證明：（1）取PC中點Q，連接EQ，FQ，
∵點E、F分別為AB和PD的中點，底面ABCD為菱形，
∴FQ$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}AB$=AE，∴FQ$\underset{∥}{=}$AE，
∴四邊形AEQF是平行四邊形，
∴AF∥EQ，
∵AF?平面PEC，EQ?平面PEC，
∴由線面平行的判定定理得直線AF∥平面PEC．
解：（2）以D為原點，DE為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
P（0，0，4），E（2$\sqrt{3}$，0，0），C（0，4，0），
$\overrightarrow{PE}$=（2$\sqrt{3}$，0，-4），$\overrightarrow{EC}$=（-2$\sqrt{3}$，4，0），
設(shè)平面PEC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PE}=2\sqrt{3}x-4z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=-2\sqrt{3}x+4y=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，$\sqrt{3}，\sqrt{3}$），
∴面PEC的法向量$\overrightarrow n=（2，\sqrt{3}，\sqrt{3}）$
同理得面PAD的法向量$\overrightarrow m=（1，\sqrt{3}，0）$，
設(shè)所求二面角為α，則$cosα=|{cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow{n＞}}|=\frac{{\sqrt{10}}}{4}$，
∴$sinα=\frac{{\sqrt{6}}}{4}∴tanα=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．
故平面PAD與平面PEC所成銳二面角的正切值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．