Question

（1）計算：C_2n^16-n+C_13+n³ⁿ；（2）解關(guān)于x的不等式：C₈^x•A_x^x＜6A₈^x-2．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)，有2n≥16-n且13+n≥3n；解可得n的取值范圍，結(jié)合n是整數(shù)，可得n的值為6，代入組合數(shù)公式中計算可得答案；
（2）首先由排列、組合的性質(zhì)可得，x≤8或1≤x-2≤8，解可得3≤x≤8；再運用排列、組合公式可將原不等式化簡整理變形為x²-19x+84＜0，解可得x的范圍，結(jié)合由組合數(shù)性質(zhì)得到的x的范圍，取交集可得答案．

解答：解：（1）根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)，有2n≥16-n且13+n≥3n；
解可得

16

3

≤n≤

13

2

，
又由n是整數(shù)，則n=6；
則原式=C₁₂¹⁰+C₁₉¹⁸=66+19=85；
（2）首先由排列組合的性質(zhì)可得，x≤8或1≤x-2≤8，解可得3≤x≤8；
原不等式可化為

8!

x!×(8-x)!

×x!＜6×

8!

(10-x)!

；
化簡可得：

1

(8-x)!

＜6×

1

(10-x)!

；
即（10-x）（9-x）＜6，
整理可得：x²-19x+84＜0，
解可得7＜x＜12；
又由x的范圍，可得x=8；
故x=8

點評：本題考查排列、組合數(shù)的公式，解題時需注意排列．組合數(shù)公式中上下標(biāo)的關(guān)系與取值范圍的限制．