已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點，|
F1F2
|=2，離心率 e=
1
2
，過橢圓右焦點F2的直線 l與橢圓C交于M，N兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線 l的傾斜角為
π
4
，求線段MN中點的坐標．
分析：（1）利用已知條件及e=
c
a
、a2=b2+c2即可解出a、b、c，從而求出橢圓C的方程；
（2）利用點斜式求出直線l的方程，與橢圓的方程聯(lián)立即可得出關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點坐標公式即可求出線段MN的中點坐標．
解答：解：（1）∵2c=|
F1F2
|=2，∴c=1，
又由e=
c
a
=
1
2
，得a=2，∴b2=22-12=3，
∴橢圓的標準方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）∵F2（1，0），kl=tan
π
4
=1．
∴直線l：y=x-1，
設M（x1，y1），N（x2，y2），
線段MN的中點為G（x0，y0）．
由
x2
4
+
y2
3
=1
y=x-1

得7x2-8x-8=0，
∴x1+x2=
8
7
，
∴x0=
x1+x2
2
=
4
7
，y0=x0-1=-
3
7
，
故線段MN的中點為(
4
7
，-
3
7
)．
點評：熟練掌握橢圓的定義與性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、線段的中點坐標公式及直線與圓錐曲線的相交問題的解題方法是解題的關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•湖南）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：
x25
+y2=1的左、右焦點F1，F(xiàn)2關(guān)于直線x+y-2=0的對稱點是圓C的一條直徑的兩個端點．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）設過點F2的直線l被橢圓E和圓C所截得的弦長分別為a，b．當ab最大時，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•青島二模）已知F1、F2分別是雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，P為雙曲線右支上的一點，
PF2
⊥
F1F2
，且|
PF1
|=
2
|
PF2
|，則雙曲線的離心率為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1 (a＞0， b＞0)的左、右焦點，過點F2與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點M，若點M在以線段F1F2為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點，且橢圓C的離心率e=
1
2
，F(xiàn)1也是拋物線C1：y2=-4x的焦點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點F2的直線l交橢圓C于D，E兩點，且2
DF2
=
F2E
，點E關(guān)于x軸的對稱點為G，求直線GD的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左，右焦點，P是雙曲線的上一點，若
PF1
•
PF2
=0且|
PF1
|•|
PF2
|=3ab，則雙曲線的離心率是
 
．

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