Question

已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}與等比數(shù)列b_n中，b₁=a₁=1，b₂=a₂，b₃=a₅．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足：cn=3an+λbn，且c_n+1≥c_n（n∈N₊）恒成立，求實(shí)數(shù)λ取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)條件建立方程組，即可求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ），結(jié)合c_n+1≥c_n（n∈N₊）恒成立，分離參數(shù)，即可求實(shí)數(shù)λ取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差d，數(shù)列{b_n}的公比q，則

1+d=q 1+4d=q2

∵d≠0，∴d=2，q=3
∴a_n=2n-1，b_n=3^n-1；
（Ⅱ）cn=3an+λbn=3^2n-1+λ•3^n-1，∴c_n+1=3²ⁿ⁺¹+λ•3ⁿ
∵c_n+1≥c_n（n∈N₊）恒成立，
∴3²ⁿ⁺¹+λ•3ⁿ≥3^2n-1+λ•3^n-1
∴λ≥-4×3ⁿ
∵n∈N₊，∴-4×3ⁿ≤-12
∴λ≥-12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查恒成立問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．